Układy dynamiczne

Wydawnictwo Naukowe PWN przedstawia podręcznik związany z analizą układów dynamicznych, którą można wykorzystać w różnych aspektach zagadnień – zarówno gospodarczych, fizycznych czy społecznych. Podręcznik Układy dynamiczne w modelowaniu procesów przyrodniczych, społecznych i technologicznych wprowadza Czytelnika w świat wykorzystania równań różniczkowych w takich dyscyplinach jak biologia, chemia, inżynieria, ekonomia czy nauki społeczne. Cytując Autorów: „Wybraliśmy zatem formę przewodnika po klasycznych układach dynamicznych i ich zastosowaniach. Prezentując główne wyniki tej teorii, często rezygnowaliśmy z podawania ich formalnych dowodów, a w zamian staraliśmy się wyjaśniać ich istotę: dlaczego one zachodzą, jakie jest znaczenie poszczególnych założeń, dlaczego są one potrzebne i jak wpływają na zastosowania. Takie podejście i wybór tematów wynikający z zainteresowań autorów powodują, że narracja książki nie jest jednostajna i niektóre zagadnienia omówione są z detalami, a niektóre, być może równie ważne, opracowano mniej szczegółowo. Jednakże mamy nadzieję, że wadę tę kompensuje włączenie do książki tematów nieczęsto spotykanych w standardowych podręcznikach równań różniczkowych (…). W związku z tym nasza monografia powinna zapełnić pewne luki w polskojęzycznej literaturze przedmiotu.” Autorami tej wyjątkowej pozycji są naukowcy Politechniki Łódzkiej – prof. dr hab. inż. Jacek Banasiak oraz dr hab. Katarzyna Szymańska-Dębowska, prof. PŁ. Publikację Układy dynamiczne w modelowaniu procesów przyrodniczych, społecznych i technologicznych kierujemy do pracowników naukowych, doktorantów i studentów starszych lat różnych wydziałów uczelni technicznych, ale również uniwersyteckich takich jak matematyka, informatyka, fizyka, chemia, biologia, automatyka i robotyka, ekonomia i inne, zainteresowanych zastosowaniami układów dynamicznych w różnych dziedzinach nauk stosowanych. Znaczenie praktyczne modelowania za pomocą równań różniczkowych istotnie wzrosło wraz z rozwojem metod numerycznych i mocy obliczeniowej komputerów umożliwiających efektywne rozwiązywanie równań różniczkowych w sposób przyjazny dla użytkownika. Błędem jest jednak natychmiastowe zastosowanie narzędzi obliczeniowych do otrzymanego w procesie modelowania równania różniczkowego bez próby jego przeanalizowania i wydedukowania jego własności na podstawie struktury równania. Na przykład udowodnienie, że otrzymane równanie w ogóle ma rozwiązanie, pokazuje, że przy konstruowaniu równania nie wykorzystano wzajemnie wykluczających się założeń. Jednoznaczność rozwiązań zapewnia, że procedura numeryczna nie będzie „skakać” pomiędzy rożnymi rozwiązaniami, a ciągłość rozwiązań względem małych zaburzeń danych pozwala na użycie metod numerycznych, które przecież operują tylko przybliżonymi danymi. Niezależnie od tych podstawowych korzyści znajomość ogólnych własności rozwiązań pozwala z jednej strony uniknąć wielu błędów, z drugiej zaś strony umożliwia uproszczenie procedur numerycznych. W związku z tym w niniejszej książce skupimy się na teorii równań różniczkowych i pominiemy jej aspekt numeryczny. (…) Wybraliśmy zatem formę przewodnika po klasycznych układach dynamicznych i ich zastosowaniach. Prezentując główne wyniki tej teorii, często rezygnowaliśmy z podawania ich formalnych dowodów, a w zamian staraliśmy się wyjaśniać ich istotę: dlaczego one zachodzą, jakie jest znaczenie poszczególnych założeń, dlaczego są one potrzebne i jak wpływają na zastosowania. Takie podejście i wybór tematów wynikający z zainteresowań autorów powodują, że narracja książki nie jest jednostajna i niektóre zagadnienia omówione są z detalami, a niektóre, być może równie ważne, opracowano mniej szczegółowo. Jednakże mamy nadzieję, że wadę tę kompensuje włączenie do książki tematów nieczęsto spotykanych w standardowych podręcznikach równań różniczkowych takich jak pochodne Diniego i nierówności różniczkowe, układy monotoniczne i nieujemność rozwiązań, nierożniczkowalne funkcje Lapunowa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lapunowa, osobliwie zaburzone układy równań różniczkowych, jednostajne na [0,∞) twierdzenie Tichonowa i rozwiązania typu canard, omówienie fal biegnących i tzw. metody tangensa hiperbolicznego ich konstruowania w kontekście teorii układów dynamicznych oraz tzw. metoda macierzy następnego pokolenia w epidemiologii matematycznej. W związku z tym nasza monografia powinna zapełnić pewne luki w polskojęzycznej literaturze przedmiotu. Fragment wstępu